Многочлени малих степенів. Теорема Сподоли

Інформація про навчальний заклад

ВУЗ:
Інші
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Не вказано

Інформація про роботу

Рік:
2024
Тип роботи:
Контрольна робота
Предмет:
Інші

Частина тексту файла

Контрольна робота Многочлени малих степенів. Теорема Сподоли. ПЛАН Поставка задачі. Многочлени малих степенів. Теорема Сподоли. Постановка задачі Многосленом називається функція f комплексної змінної, значення f(Z) якої визначається за формулою. f(Z) = a0Zn+a1Zn-1+…an (1) Як правило, завжди припускається, що а00.При цьому число n називається степенем многочлена. Числа а0, а1...,an називаються коефіцієнтами многочлена (1).Будемо вважати ці коефіцієнти довільними комплексними числами. Комплексне число Z0 називається коренем )а також нулем) многочлена f, якщо f(Z0) = 0 Якщо Z1, .., Zm – всі корені многочлена f, то f(Z) = a0(Z-Z1)n1…(Z-Zm)nm (2) де n11,…, nm1. Число n1, і=1, ...m називається кратністю кореня Zi. Сума кратності всіх коренів рівна степеню n многочлена: n1+...nm=n, так, що число всіх коренів, врахованих стільки раз, яка їх кратність, рівна n. Тому розклад (2) можна переписати в наступному вигляді. f(Z) = a0(Z-Z1)n1…(Z-Zn) (3) де тепер Z1, .., Zn – корені многочлена, кожний із яких повторяється стільки раз, яка його кратність. Ми будемо цікавитись тільки коренями. Тому будемо вважати, що а0=1. Проте це порушить симетрію деяких формул. Разом з тим вважати коефіцієнт а0 довільним теж не добре. Тому вважатимемо коефіцієнт а0 дійсним додатнім числом: а0 > 0 Корені є комплексними числами і якось розташовані на площині комплексної змінної. Можна, не шукаючи коренів, отримати інформацію про їх розташування. Для цього є багато такого роду теорем. В кожній з них задається деякий клас многочленів і деякий клас областей. Кожному многочлену даного класу співставляється деяка область, і теорема стверджує, що всі корені многочлена належать цій області. Тому є теореми другого типу. В них задається область і шукаються умови на коефіцієнти многочлена, при виконанні яких всі корені многочлена належать цій області. Найпростішими областями є півплощини. Виберемо для визначеності так звану ліву півплощину По, складену із m-k Z=x+iy, для яких х0. Означення 1. Многочлен. f=a0Zn+a1Zn-1+an-1Z+an, a00, називається стійким, якщо всі його корені лежать в лівій півплощині По, тобто якщо всі їх частини від’ємні. Многочлени малих степенів. Т-ма Стодоли. Для многочленів з дійсними коефіцієнтами степеня 2 дослідження на стійкість тривіальне. Дійсно, многочлен першого степеня a0t+a1 має єдиний корінь . Цей корінь тоді і тільки тоді від’ємний, коли а00). Многочлен другого степеня a0Z2+a1Z+a2 має корені:  Випадок 1.  (і, отже, а20). В цьому випадку обидва корені мають одну і ту ж дійсну частину . Тому многочлен тоді і тільки тоді стійкий, коли а10. Випадок 2. . В цьому випадку обидва корені дійсні. Якщо а10, то один з коренів від’ємний, а другий від’ємний тоді і тільки тоді, коли а20. Якщо ж а10, то хоча б один корінь гарантовано додатній. Цим доведена наступна теорема: Теорема 1. Многочлен першого і другого степеня (з дійсними коефіцієнтами і додатнім старшим коефіцієнтом а0) тоді і тільки оді стійкий, коли всі його коефіцієнти додатні. Для стійкості многочленів вищих ступенів умова додатності коефіцієнтів в будь-якому випадку необхідна. Теорема 2. (теорема Стодоли). Якщо многочлен з дійсними коефіцієнтами стійкий, то (при ао – 0) всі його коефіцієнти додатні. Доведення. Відомо, що будь-який многочлен з дійсними коефіцієнтами є дійсними коефіцієнтами є добутком многолченів степеня 2 (також з дійсними коефіцієнтами. Дійсно, відомо, що для будь-якого многочлена з дійсними коефіцієнтами з деяким коренем Z=ч0+іу0. Комплексно спряжене з ним число  буде коренем тієї ж кратності. Тому в розклад многочлена на множники виду Z-Z1 уявні множники будуть входити парами виду (Z-Zі) (Z-Zі). Оскільки , де р = х0, , то звідси випливає, що будь-який многочлен (1) з дійсними коефіцієнтами допускає розклад виду: f(Z) = a0(Z-х1)…(Z-хr)(Z2+2p1+2psZ+q3) де х1..., хr – дійсні корні (кожний корінь повторюється стільки раз, яка його кратність), aZ2+2psZ+q1,…, Z2+2psZ+q3 – такі квадратні тричлени, кожен з яких відпов...
Антиботан аватар за замовчуванням

01.04.2013 00:04

Коментарі

Ви не можете залишити коментар. Для цього, будь ласка, увійдіть або зареєструйтесь.

Завантаження файлу

Якщо Ви маєте на своєму комп'ютері файли, пов'язані з навчанням( розрахункові, лабораторні, практичні, контрольні роботи та інше...), і Вам не шкода ними поділитись - то скористайтесь формою для завантаження файлу, попередньо заархівувавши все в архів .rar або .zip розміром до 100мб, і до нього невдовзі отримають доступ студенти всієї України! Ви отримаєте грошову винагороду в кінці місяця, якщо станете одним з трьох переможців!
Стань активним учасником руху antibotan!
Поділись актуальною інформацією,
і отримай привілеї у користуванні архівом! Детальніше

Оголошення від адміністратора

Антиботан аватар за замовчуванням

пропонує роботу

Admin

26.02.2019 12:38

Привіт усім учасникам нашого порталу! Хороші новини - з‘явилась можливість кожному заробити на своїх знаннях та вміннях. Тепер Ви можете продавати свої роботи на сайті заробляючи кошти, рейтинг і довіру користувачів. Потрібно завантажити роботу, вказати ціну і додати один інформативний скріншот з деякими частинами виконаних завдань. Навіть одна якісна і всім необхідна робота може продатися сотні разів. «Головою заробляти» продуктивніше ніж руками! :-)

Новини