Контрольна робота
Многочлени малих степенів. Теорема Сподоли.
ПЛАН
Поставка задачі.
Многочлени малих степенів. Теорема Сподоли.
Постановка задачі
Многосленом називається функція f комплексної змінної, значення f(Z) якої визначається за формулою.
f(Z) = a0Zn+a1Zn-1+…an (1)
Як правило, завжди припускається, що а00.При цьому число n називається степенем многочлена.
Числа
а0, а1...,an
називаються коефіцієнтами многочлена (1).Будемо вважати ці коефіцієнти довільними комплексними числами.
Комплексне число Z0 називається коренем )а також нулем) многочлена f, якщо
f(Z0) = 0
Якщо Z1, .., Zm – всі корені многочлена f, то
f(Z) = a0(Z-Z1)n1…(Z-Zm)nm (2)
де n11,…, nm1. Число n1, і=1, ...m називається кратністю кореня Zi. Сума кратності всіх коренів рівна степеню n многочлена:
n1+...nm=n,
так, що число всіх коренів, врахованих стільки раз, яка їх кратність, рівна n. Тому розклад (2) можна переписати в наступному вигляді.
f(Z) = a0(Z-Z1)n1…(Z-Zn) (3)
де тепер Z1, .., Zn – корені многочлена, кожний із яких повторяється стільки раз, яка його кратність.
Ми будемо цікавитись тільки коренями. Тому будемо вважати, що а0=1. Проте це порушить симетрію деяких формул. Разом з тим вважати коефіцієнт а0 довільним теж не добре. Тому вважатимемо коефіцієнт а0 дійсним додатнім числом:
а0 > 0
Корені є комплексними числами і якось розташовані на площині комплексної змінної. Можна, не шукаючи коренів, отримати інформацію про їх розташування.
Для цього є багато такого роду теорем. В кожній з них задається деякий клас многочленів і деякий клас областей. Кожному многочлену даного класу співставляється деяка область, і теорема стверджує, що всі корені многочлена належать цій області.
Тому є теореми другого типу. В них задається область і шукаються умови на коефіцієнти многочлена, при виконанні яких всі корені многочлена належать цій області.
Найпростішими областями є півплощини. Виберемо для визначеності так звану ліву півплощину По, складену із m-k Z=x+iy, для яких х0.
Означення 1. Многочлен.
f=a0Zn+a1Zn-1+an-1Z+an, a00,
називається стійким, якщо всі його корені лежать в лівій півплощині По, тобто якщо всі їх частини від’ємні.
Многочлени малих степенів. Т-ма Стодоли.
Для многочленів з дійсними коефіцієнтами степеня 2 дослідження на стійкість тривіальне.
Дійсно, многочлен першого степеня a0t+a1 має єдиний корінь . Цей корінь тоді і тільки тоді від’ємний, коли а00).
Многочлен другого степеня
a0Z2+a1Z+a2
має корені:
Випадок 1. (і, отже, а20). В цьому випадку обидва корені мають одну і ту ж дійсну частину . Тому многочлен тоді і тільки тоді стійкий, коли а10.
Випадок 2. . В цьому випадку обидва корені дійсні. Якщо а10, то один з коренів від’ємний, а другий від’ємний тоді і тільки тоді, коли а20. Якщо ж а10, то хоча б один корінь гарантовано додатній.
Цим доведена наступна теорема:
Теорема 1. Многочлен першого і другого степеня (з дійсними коефіцієнтами і додатнім старшим коефіцієнтом а0) тоді і тільки оді стійкий, коли всі його коефіцієнти додатні.
Для стійкості многочленів вищих ступенів умова додатності коефіцієнтів в будь-якому випадку необхідна.
Теорема 2. (теорема Стодоли). Якщо многочлен з дійсними коефіцієнтами стійкий, то (при ао – 0) всі його коефіцієнти додатні.
Доведення. Відомо, що будь-який многочлен з дійсними коефіцієнтами є дійсними коефіцієнтами є добутком многолченів степеня 2 (також з дійсними коефіцієнтами. Дійсно, відомо, що для будь-якого многочлена з дійсними коефіцієнтами з деяким коренем Z=ч0+іу0. Комплексно спряжене з ним число буде коренем тієї ж кратності. Тому в розклад многочлена на множники виду Z-Z1 уявні множники будуть входити парами виду (Z-Zі) (Z-Zі).
Оскільки
,
де р = х0, , то звідси випливає, що будь-який многочлен (1) з дійсними коефіцієнтами допускає розклад виду:
f(Z) = a0(Z-х1)…(Z-хr)(Z2+2p1+2psZ+q3)
де х1..., хr – дійсні корні (кожний корінь повторюється стільки раз, яка його кратність), aZ2+2psZ+q1,…, Z2+2psZ+q3 – такі квадратні тричлени, кожен з яких відпов...
